Desde niño se tiene un concepto mental de lo que es un círculo, sin embargo, este concepto mental no siempre se corresponde con la realidad del concepto matemático. Imagine que tiene en sus manos una lata sellada de cualquier producto enlatado, que cumpla con el concepto mental de ser “redonda” o “circular” la cual tiene un ancho uniforme. Para abrir la lata usted toma un abre lata, el cual hace un corte perfecto en todo el borde de la lata. Todo el borde de la lata es una “circunferencia” y la parte que usted acaba de retirar de la lata es el “circulo”.
Definición de circunferencia.
Una circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de todos los puntos del plano que son equidistantes de un punto fijo llamado centro. El círculo es el conjunto de todos los puntos interiores a una circunferencia.
La distancia desde el centro a un punto de la circunferencia se llama radio. Un segmento cualquiera que pasa por dos puntos de la circunferencia se llama cuerda y una cuerda que pasa por el centro se llama diámetro de la circunferencia.
Ecuaciones de la circunferencia.
La ecuación de una circunferencia con centro en el punto \(\left(h,\ k\right)\) y radio \(r\) en su forma estándar o canónica es,
Ecuación conónica de la circunferencia
$$\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2=r^2$$
que puede ser escrita desarrollando los cuadrados en,
Forma general de la circunferencia
$$x^2+y^2+ax+by+c=0.$$
Donde el centro y el radio cumplen las relaciones:
$$C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)~~~~~~~~r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}$$
Si el centro de la circunferencia está en el punto \(C\left(0,\ 0\right)\) la ecuación \(\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2=r^2\) se transforma en \(x^2+y^2=r^2\) que es la ecuación reducida de la circunferencia.
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Determinar el lugar geométrico de los puntos \( P\left(x,\ y\right)\) cuya distancia al punto fijo \(C\left(3, -\ 3\right)\) sea igual a siete.
Del enunciado se tiene \(\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2}=7\) de donde,
\begin{array}{l l}
\left(\sqrt{\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2}\right)^2=7^2&{\rm Tomando~potencias.} \\
\left(x-3\right)^2+\left(y+3\right)^2=49& {\rm Realizando~ las~ potencias.}\\
x^2-6x+9+y^2+6y+9=49&\mathrm{Desarrollando~ los ~cuadrados.}\\
x^2+y^2-6x+6y+18-49=0& \mathrm{Igualando ~a~ cero~ y~ ordenando.}\\
x^2+y^2-6x+6y-31=0& \mathrm{Reduciendo ~términos~ semejantes.}\end{array}
Luego la circunferencia \(x^2+y^2-6x+6y-31=0\) es el lugar geométrico buscado.
Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y su centro está en \(\left(4, -3\right)\).
Solución: sea \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) la ecuación buscada, de la forma estándar se tiene,\(
\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=r^2\) de donde,
\begin{align}
r&=d(C,O)=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\\
r&=\sqrt{\left(4-0\right)^2+\left(-3-0\right)^2}=\sqrt{16+9}=5\end{align}
Escribiendo ahora la circunferencia:
\begin{array}{l l}
(x-h)+(y-k)=r^2&{\rm Forma~conónica.}\\
\left(x-4\right)^2+\left(y+3\right)^2=\left(5\right)^2&{\rm Sustituyendo~los~ valores.}\\
x^2-8x+16+y^2+6y+9=25& {\rm Desarrollando~potencias.}\\
x^2+y^2-8x+6y=0&{\rm Ordenando~ y~ simplificando.}\end{array}
Por tanto la circunferencia \(x^2+y^2-8x+6y=0\) es la ecuación buscada.
Determinar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos del diámetro están en los puntos \(P\left(-2, 4\right)\) y \(Q\left(2, -8 \right)\).
Solución: Sea \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) la ecuación buscada, cuyo centro \((h,k)\) es el punto medio entre \(P\) y \(Q\); y de radio \(r\) igual a un medio de \(d(P,Q)\).
\begin{align}
&\mathrm{~Centro}~ (h,k)=\left(\frac{2-2}{2},\frac{-8+4}{2}\right)=\left(0,\ -2\right)\\
&r=\frac{1}{2}d(P,Q)\\
&r=\frac{1}{2}\sqrt{\left(-2-2\right)^2+\left(-8-4\right)^2}=\frac{1}{2}\sqrt{160}\\
\end{align}
Partiendo ahora de la forma canónica.
\begin{align}
&\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2=r^2\\
&\left(x-0\right)^2+\left(y+2\right)^2=\left(\frac{1}{2}\sqrt{160}\right)^2\\
&x^2+y^2+4y+4=40\\
&x^2+y^2+4y-36=0\\
\end{align}
Determinar la ecuación de la circunferencia de centro \( \left(2,\ 5\right)\), que además es tangente a \(3x –y+20=0.\)
Solución: partiendo de \({(x-h)}^2+{(y-k)}^2=r^2\) se necita conocer el centro \((h,k)=(2,5)\) y el radio, \(r\) que es la distancia desde el centro a la recta tangente.
\begin{align}
&d=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
&d=\frac{\left|3\left(2\right)-\left(5\right)+20\right|}{\sqrt{3^2+\left(-1\right)^2}}=\frac{21}{\sqrt{10}}\end{align}
Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia.
\begin{align}
&{(x-2)}^2+{(y-5)}^2=\left(\frac{21}{\sqrt{10}}\right)^2\\
&x^2-4x+4+y^2-10y+25=\frac{441}{10}\\
&x^2+y^2-4x-10y-\frac{151}{10}=0\\
&10x^2+10y^2-40x-100y-151=0\end{align}
Determinar la ecuación de la circunferencia concéntrica con \(x^2+y^2–6x-2y+2=0\) y que además es tangente a la recta \(y=x\).
Solución: la circunferencia buscada está dada por \((x-h)^2+(y-k)+r^2\) que por ser concentrica a la circunferencia dada, tienen el mismo centro.
\begin{align}
&C(h,k)=\left(-\frac{a}{2},\ -\frac{b}{2}\ \right)\\
&C(h,k)=\left(-\frac{-6}{2},\ -\frac{-2}{2}\right)\\
&C(h,k)=\left(3,\ 1\right)\end{align}
La longitud del radio, es igual a la distancia del centro a la recta \(8x-15y-5=0.\)
\begin{align}
&r=\frac{\left|ax_1+by_1+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
&r=\frac{\left|-\left(3\right)+\left(1\right)\right|}{\sqrt{{(-1)}^2+\left(1\right)^2}}\\
&r=\frac{\left|-2\right|}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\end{align} Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia \((x-h)^2+(y-k)^2=r\) para \(C(h,k)=(3,\ 1)\) y \(r=\sqrt2.\)
\begin{array}{l l}
\left(x-3\right)^2+\left(y-1\right)^2=2&{\rm Sustituyendo}~ h,\ k \ {\rm y}~ r.\\
x^2-6x+9+y^2+2y+1=2& {\rm Desarrollando.}\\
x^2+y^2-6x+2y+8=0& {\rm Forma~ general.}\end{array}
Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por \((1,-1)\) y que además es concéntrica con \(3x^2+3y^2-6x+24y+36=0\)
Solución el centro de la circunferencia buscada es el centro de \(3x^2+3y^2-6x+24y+36=0\) (son concéntricas), además \(d(C,\ P)=r\). Usando el método de completar el t.c.p. se tiene,
\begin{align}
&3x^2+3y^2-6x+24y+36=0\\
&x^2+y^2-2x+8y+12=0\\
&\left(x^2-2x\right)+\left(y^2+9y\right)=-12\\
&(x^2-2x+1)+(y^2+8y+16)=-12+1+16\\
&\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=5\end{align}
De donde el centro es el punto \(C(1,-4)\) y el radio es
\begin{align}
&r=d(C,P)\\
&r=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(-1+4\right)^2}=\sqrt9=3\end{align}
La circunferencia buscada sustituyendo los valores de \(h,~k\) y \(r\) en su forma general es,
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=9\Longrightarrow x^2+y^2-2x+8y+8=0$$
Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el punto localizado a dos terceras partes de la distancia que separa \(\left(5,\ 5\right)\) de \(\left(-5,-5\right)\) su radio es tres.
Sea el punto \(C(h,\ k)\), el centro de la circunferencia buscada, donde \((h,\ k),~ P_1(5,\ 5)\) y \(P_2(-5,-5)\) son colineales, de enunciado de la situación se tiene,
$$d(C,P_1)=\frac23d(P_1,P_2)~{\rm y~ por~ tanto}~d(C,P_2)=\frac13d(P_1,P_2).$$
Las coordenadas de \(C\left(h,\ k\right)\) estarán dadas por la fórmula de la división de un segmento en una razón dada de la manera siguiente.
$$C=\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)\ \mathrm{donde}~ r~ \mathrm{es~ la~razón,~ para}~~r=\frac{d(C,P_1)}{d(C, P_2)}$$
$$r=\frac{\frac{2}{3}d(P_1,P_2)}{\frac13d(P_1, P_2)}=2$$
Determinando ahora el centro \(C\left(h,\ k\right)\):
\begin{align}
C=\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)&=\left(\frac{5+2\left(-5\right)}{1+2},
\frac{5+2\left(-5\right)}{1+2}\right)\\
&=\left(\frac{5-10}{3},\frac{5-10}{3}\right)\\
&=\left(-\frac{5}{3},-\frac{5}{3}\right)\end{align}
Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia buscada para el radio \(r=3\).
\begin{array}{l l}
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2&{ \rm Forma~ estándar.}\\
\left(x+\frac{5}{3}\right)^2+\left(y+\frac{5}{3}\right)^2=3^2&{\rm Sustituyendo}~ h,~k,~\mathrm{ y}~ r\\
x^2+\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}+y^2+\frac{10}{3}y+\frac{25}{9}=36&{\rm Desarrollando~los~cuadrados}\\
{9x}^2+9y^2+30x+30y+50=36&{\rm Ordenando ~y~simplificando.}\\
9x^2+9y^2+30x+30y+14=0&{\rm Forma~ general.}\end{array}
Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por el origen y cuyo centro está en la intersección de \(3x+4y-18=0\) con \(5x-3y–1=0\).
De \(\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2=r^2\) donde \((h,k)\) es el punto de intersección de las rectas y \(r\) es la distancia entre el centro y el origen. Formando el sistema y resolviendo se tiene,
$$\left\{\begin{array}13x+4y=18\\5x-3y=1\end{array}\right.\Longrightarrow \left\{\begin{array}1 x=2\\y=3\end{array}\right.\Longrightarrow P(2,3)$$
$$r=d\left(C,P\right) r=\sqrt{\left(2-0\right)^2+\left(3-0\right)^2}=\sqrt{13}$$
Escribiendo la ecuación para \(C\left(2,\ 3\right)\) y \( r=\sqrt{13}.\)
\begin{array}{l l}
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 &{\rm Forma~ estándar.}\\
(x-2)^2+(y-3)^2=\left(\sqrt{13}\right)^2 & {\rm Sustituyendo~} h,~ k,~ \mathrm{y}~ r\\
x^2-4x+4+y^2-6y+9=13 &{\rm Desarrollando~ cuadrados.}\\
x^2+y^2-4x-8y +13=13 &{\rm Ordenando~ y~ simplificando}\\
x^2+y^2-4x-8y =0 &{\rm Forma~ general.}\end{array}
Circunferencia que pasa por tres puntos. Determinar las circunferencia que pasa por los puntos.
\(a\). \((2, -2),\ (-2, -4),\ (4, 2)~~~~~~~~b. (4, -1),\ (-2, -5),\ (5, 4)\)
Solución \(a\): los puntos dados deben cumplir con la ecuación \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) de donde,
$$\begin{array}1\mathrm{
evaluando}\\x^2+y^2+ax+by+c=0\\
\end{array}~~~~ \mathrm{en} \left\{\begin{array}1(2,-2)\\
(-2,4)\\
(4,2)\end{array}\right.$$
resultan las ecuaciones
$$\left\{\begin{array}1(2)^2+(-2)^2+a(2)+b(-2)+c=0\\
(-2)^2+(-4)^2+a(-2)+b(-4)+c=0\\
4(2)+2(2)+a(4)+b(2)+c=0\end{array}\right.$$
que al simplificarse se transforman en:
$$\left\{\begin{array}
2a-2b+c=-8\\
2a+4b-c=20\\
4a+2b+c=-20\end{array}\right.~~~~\mathrm{y~por~tanto}~~
\left\{\begin{array}1a=6\\b=-6\\c=-32\end{array}\right.$$
sustituyendo estos valores en \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) produce
\(x^2+y^2+6x-6y-32=0\) que es la ecuación buscada.
Solución parte \(b\):
$$\begin{array}1\mathrm{
evaluando}\\x^2+y^2+ax+by+c=0\\
\end{array}~~~~ \mathrm{en} \left\{\begin{array}1(4,-1)\\(-2,5)\\(5,4)\end{array}\right.~~~~\mathrm{resultan~las~ecuaciones}$$
$$\left\{\begin{array}1(4)^2+(-1)^2+a(4)+b(-1)+c=0\\
(-2)^2+(-5)^2+a(-2)+b(-5)+c=0\\
5^2+4^2+a(5)+b(4)+c=0\end{array}\right.$$
que al simplificarse se transforman en:
$$\left\{\begin{array}
4a-b+c=-17\\
-2a-5b+c=-29\\
5a+4b+c=-41\end{array}\right.~~~~\mathrm{y~por~tanto}~~
\left\{\begin{array}1a=6\\b=-6\\c=-47\end{array}\right.$$
Sustituyendo estos valores en \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) se obtiene \(x^2+y^2+6x-6y-47=0\) que es la ecuación buscada.
Determine el lugar geométrico de los puntos en el plano tal que un punto P está dos veces más lejos de \(A\left(2,\ 5\right)\) que de \(B\left(-3,0\right)\).
Sea \(P(x,\ y)\) el punto que cumple con las condiciones dadas, luego el enunciado de la situación es \(d(P,A)=2d(P,\ B)\) y la situación es de sustitución.
\begin{align}
&d(P,A)=2d(P,\ B)\\
&\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y-5\right)^2}=2\sqrt{\left(x-\left(-3\right)\right)^2+\left(y-0\right)^2}\\
&\left(\sqrt{\left(x-2\right)^2+\left(y-5\right)^2}\right)^{2}=\left(2\sqrt{\left(x+3\right)^2+\left(y-0\right)^2}\right)^2\\
&\left(x-2\right)^2+\left(y-5\right)^2=4\left[\left(x+3\right)^2+\left(y-0\right)^2\right]\\
&x^2-4x+4+y^2-10y+25=4\left(x^2+6x+9+y^2\right)\\
&x^2-4x+4+y^2-10y+25=4x^2+24x+36+{4y}^2\\
&{3x}^2+{3y}^2+28x+10y+7=0\end{align}
Luego la circunferencia \({3x}^2+{3y}^2+28x+10y+7=0\) es el lugar geométrico buscado.
Una recta tangente. Determinar la ecuación de la tangente a la circunferencia \(x^2+y^2-9x=0\) en cada uno de sus puntos de intersección con la recta \(4x+3y=20\).
Solución: para los puntos de intersección de \(x^2+y^2-10x=0\) y \(4x+3y=20\) se debe resolver el sistema formado por ellas, de donde,
$$\left\{\begin{array}1
x^2+y^2-10x=0 ~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{1}}\\
4x+3y=20~~~~~~~~~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{2}}
\end{array}\right.$$
Despejando \(x\) en \(\boxed{\textcolor{#ff0080}{2}}\)
$$x=\frac{20-3y}{4}~~~~\boxed{\textcolor{#ff0080}{3}}$$
Sustituyendo este valor en \(\boxed{\textcolor{#ff0080}{1}}\):
\begin{align}
&\left(\frac{20-3y}{4}\right)^2+y^2-10\left(\frac{20-3y}{4}\right)=0\\
&\frac{\left(20-3y\right)^2}{4^2}+y^2-50+\frac{15}{2}y=0\\
&\frac{400-120y+9y^2}{16}+y^2-50+\frac{15}{2}y=0\\
&400-120y+9y^2+16y^2-800+120y=0\\
&25y^2-400=0\\
&y^2-16=0\\
&\left(y-4\right)\left(y+4\right)=0\\
\end{align}
Resolviendo cada factor se obtiene \(y_1=4~~~~~~y_2=-4\)
Para los valores de \(x\) se sustituye \(y=\pm4\) en \(\boxed{\textcolor{#ff0080}{3}}\)
\begin{align}
&\mathrm{Si}~ y=4~~\Longrightarrow~~x=\frac{20-3(4)}{4}=\frac{8}{4}=2 \Longrightarrow \left(2,\ 4\right)\\
&\mathrm{Si}~y=-4 \Longrightarrow~~ x=\frac{20-3(-4)}{4}=\frac{32}{4}=8 \Longrightarrow \left(8,-4\right)\end{align}
Escribiendo ahora las ecuaciones de las rectas tangentes, teniendo en cuenta que las tangentes son perpendiculares a \(4x+3y=20\) sus pendientes cumplen con \(mm_t=-1\) para cada una de ellas, donde \(m\) es la pendiente de \(4x+3y=20\Longrightarrow m=-\frac{4}{3}\)
La pendiente de cualquier recta perpendicular a \(4x+3y=20\) es,
$$mm_t=-1\Longrightarrow m_t=\frac{-1}{m}=\frac{3}{4}$$
Aplicando la ecuación punto pendiente para \(m=3/4\) y el punto \(P\left(2,\ 4\right)\) se tiene:
$$y=\frac{3}{4}\left(x-2\right)+4\Longrightarrow4y=3\left(x-2\right)+16$$
$$\mathrm{de~donde,}~~3x-4y+10=0 \mathrm{~~es~la~recta~buscada}$$
Aplicando la ecuación punto pendiente para \(m=3/4\) y el punto \(P\left(8,-4\right)\) se tiene:
$$y=\frac{3}{4}\left(x-8\right)-4\Longrightarrow4y=3\left(x-8\right)-16$$
De donde \(3x-4y-40=0\) es la recta buscada.
Circunferencia tangente. Deteminar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el origen y además es tangente a \(5x–7y+\sqrt{148}=0\).
Solución: se debe escribir \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) partiendo de \({(x-h)}^2+{(y-k)}^2=r^2\); como \((h,k)=\left(0,0\right)\) se tiene \(x^2+y^2=r^2\) donde \(r\) es la distancia del centro a la recta tangente \(5x–7y+\sqrt{148}=0\)
\begin{align}
r&=\frac{\left|ax+by+c\right|}{\sqrt{a^2+b^2}}\\
r&=\frac{\left|5\left(0\right)-7\left(0\right)+\sqrt{148}\right|}{\sqrt{5^2+\left(7\right)^2}}\\
r&=\frac{\left|\sqrt{148}\right|}{\sqrt{25+49}}=\frac{\sqrt{148}}{\sqrt{74}}=\sqrt{\frac{148}{74}}=\sqrt2\end{align}
Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia \(x^2+y^2=r^2\):
\begin{align}
&x^2+y^2=\left(\sqrt2\right)^2\\
&x^2+y^2=2\\
&x^2+y^2-2=0\end{align}
Circunferencia que pasa por un punto. Determinar la ecuación de la circunferencia con centro en \((-2,-2)\) y que además pasa por \((5,-5)\)
Solución: se debe escribir la forma \(x^2+y^2+ax+by+c=0\) partiendo de \(\left(x-h\right)^2+\left(y-k\right)^2=r^2\) donde \(r\) es la distancia desde el centro al punto \((5,-5)\).
\begin{align}
&r=\sqrt{{(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2}\\
&r=\sqrt{{(5+2)}^2+{(-5+2)}^2}\\
&r=\sqrt{{(7)}^2+{(-3)}^2}=\sqrt{58}\end{align}
Escribiendo ahora la ecuación buscada \(x^2+y^2+ax+by+c=0.\)
\begin{array}{l l}
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2&{\rm Forma~canónica.}\\
(x+2)^2+(y+2)^2={(\sqrt{58})}^2&{\rm Sustituyendo~ h,~ k~} {\rm y}~~ r\\
x^2+4x+4+y^2+4y+4=58& {\rm Desarrollando~potencias}\\
x^2+y^2+4x+4y+8-58=0& {\rm Ordenando~ y~simplificando}\\
x^2+y^2+4x+4y-50=0&{\rm Forma~general.}\\
\end{array}
Circunferencia concéntrica. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por \((1,-1)\) y que es concéntrica con \(x^2+y^2-x+15y+24=0\)
Solución: como la circunferencia buscada es concéntricas a \(x^2+y^2-x+15y+24=0\) tienen el mismo centro \(C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right).\) La distancia desde el centro al punto \(P(1,-1)\) es la longitud del radio.
\begin{align}
&{\rm Comparando}\left\{\begin{array}1
x^2+y^2-x+15y+24=0\\
x^2+y^2+ax+by+c=0\\
\end{array}\right.\\
&C=\left(-\frac{-1}2,-\frac{15}2\right)=\frac12,-\frac{15}2\\
&r=\sqrt{\left(1-\frac{1}{2}\right)^2+\left(-1-\left(-\frac{15}{2}\right)\right)^2}\\
&r=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{13}{2}\right)^2}\\
&r=\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{169}{4}}=\sqrt{\frac{170}{4}}=\frac{\sqrt{170}}{2}\end{align}
Escribiendo ahora la circunferencia buscada para,
\begin{align}
$$C\left(\frac{1}{2},-\frac{15}{2}\right)~~ \mathrm{y}~~ r=\frac{\sqrt{170}}{2}$$
\begin{array}{l l}
(x-h)^2+(y-k)^2=r^2&{\rm Forma~ estándar}\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{15}{2}\right)^2=\left(\frac{\sqrt{170}}{2}\right)^2&{\rm Sustituyendo}~ h,~k~ \mathrm{y~} r.\\
\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\left(y+\frac{15}{2}\right)^2= \frac{170}{4}&{\rm Desarrollando~cuadrados.}\\
x^2-x+\frac{1}{4}+y^2+15y+\frac{225}{4} =\frac{170}{4}& {\rm Realizando~ potencias}\\
x^2+y^2-x+15y+\frac{226}{4}-\frac{170}{4}=0& {\rm Ordenando~ y~ simplificando}\\
x^2+y^2-x+15y+\frac{56}{4}=0&{\rm Simplificando.}\\
x^2+y^2-x+15y+14=0&{\rm Simplificando.}
\end{array}
La figura de la izquierda muestra la circunferencias concentricas del ejercicio. Nota adicional: En caso de no recordar las expresiones,
$$C\left(-\frac{a}{2},-\frac{b}{2}\right)~~\mathrm{y}~~ r=\frac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2-4c}$$
para el centro y el radio puede proceder completando el t.c.p. para determinar el centro.
Centro colineal. Determinar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es colineal con los puntos \(P_1\left(-2,\ -2\right)\) y \(P_2\left(3,\ 1\right)\) y está a dos terceras partes de la distancia dirigida de \(P_1\) a \(P_2\) con radio \(r=\sqrt3.\)
Solución sea el punto \((h,k)\), el centro de la circunferencia buscada, donde, $$C\left(h,\ k\right),\ \ P_1\left(-2, -2\right)~~\mathrm{y}~~ P_2\left(3,1\right)$$ son tres puntos consecutivos en una recta tal que,
$$d\left(P_1,C\right)=\frac23d(P_1,P_2)~~\mathrm{y~ por~ tanto}~ d\left(C,P_2\right)=\frac13d(P_1,P_2).$$
Las coordenadas de \(C\left(h,\ k\right)\) estarán dadas por la fórmula de la división de un segmento en una razón dada de la manera siguiente.
$$C=\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)$$
Aquí \(r\) es razón (no radio) donde la razón está dada por
\begin{align}
&r=\frac23d(P_1,P_2)\\
&r=\frac{d(C,P_1)}{d(C,P_2)}=\frac{\frac23d(P1,P2)}{\frac13d(P1,P2)}=2\end{align}
Hallando el centro \(C(h,\ k):\)
\begin{align}
&C=\left(\frac{x_1+rx_2}{1+r},\frac{y_1+ry_2}{1+r}\right)\\
&C=\left(\frac{-2+2\left(3\right)}{1+2},\ \frac{-2+2\left(1\right)}{1+2}\right)\\
&C=\left(\frac{-2+6}{3},\frac{-2+2}{3}\right)\\
&C=\left( \frac{4}{3},0\right)\end{align}
Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia buscada para \(C(-4,0)\) y el radio \(r=\sqrt3.\)
\begin{array}{l l}
{(x-h)}^2+{(y-k)}^2=r^2&{\rm Forma~ estándar.}\\
\left(x-4/3\right)^2+\left(y-0\right)^2={(\sqrt3)}^2&{\rm Sustituyendo}~ h,\ k,\mathrm{y}~ r\\
x^2-\frac83x+\frac{16}9+y^2=3&{\rm Desarrollando~ potencias}\\
x^2+y^2-\frac83x-\frac{11}9=0&{\rm Ordenando~ y~ simplificando.}
\end{array}
Si se desea la ecuación anterior se puede multiplicar por nueve y escribirse como,
$$9x^2+9y^2-24x-11=0$$
Intersección de rectas. Determinar la circunferencia cuyo centro está en \((-2, 4)\); pasa por la intersección de \(\textcolor{#ff0080}{5x +7y-29=0}\) con \(\textcolor{navy}{4x-5y-2=0}\)
Solución: de la ecuación canónica \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) se deben conocer las coordenadas del centro y la longitud del radio (distancia del centro al punto por donde pasa). El punto de intersección de las rectas es la solución al sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
5x+7y=29\\
4x-5y=2\\
\end{array} \Longrightarrow
\begin{align}
25x+35y&=145\\
28x-35y&=14~~\\ \hline
53x~~~~~~~~~~ &=159\\
\end{align}~~~x=3 \therefore y=2 \right.$$
Así que la circunferencia pasa por el punto \(P(3,2)\), y su radio es la distancia del centro a este punto.
\begin{align}
&r=d(C,P)\\
&r=\sqrt{(3+2)^2+(2-4)^2}\\
&r=\sqrt{29}
\end{align}
Escribiendo ahora la ecuaciónde la circunferencia
\begin{align}
&(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\
&(x+2)^2+(y-4)^2=\left(\sqrt{29}\right)^2\\
&x^2+4x+4+y^2-8y+16=29\\
&x^2+y^2+4x-8y-9=0\\
\end{align}
Es la ecuación de la circunferencia buscada.
Intersección de parábolas. Determine los puntos de intersección de las gráficas de \(4y-x^2=0\) con \(x^2y+4y-8=0.\)
Solución: la intersección de los gráficos de las ecuaciones está dada por las raíces del sistema de ecuación formado con ellas. Despeje una de las incógnitas en una de la ecuación (preferiblemente en la lineal si la hay), sustituya en la otra, y resuelva. La solucion uno, es como sigue:
$$\left\{\begin{array}{l}
4y-x^2=0~~~~~~~~~~~~(1)\\
x^2y+4y-8=0~~~~(2)\end{array}\right.$$
Sustituyendo \(4y=x^2~~~(1)\) en \((2)\):
\begin{array}{l}
(4y)y+4y-8=0&{\rm Haciendo}~ x^2=4y\\
4y^2+4y-8=0 & {\rm Multiplicando}\\
y^2+y-2=0 & {\rm Simplificando.}\\
\left(y+2\right)\left(y-1\right)=0& {\rm Factorizando.}\\
y+2=0\ \ \ {\rm ó}~~ y-1=0 & {\rm Igualando~ a~ cero}\\
y=-2\ \ \ \ \ {\rm ó} ~~ y=1 & {\rm Resolviendo}\end{array}
Como \(4y=x^2\) se tiene que \(y=-2\) no puede ser solución, ya que en este caso tendría \(-8=x^2\) y ningún número elevado a una potencia par, da como resultado un número negativo, por tanto \(y=1\) es la solución válida.
Sustituyendo ahora este valor en \(4y=x^2.\)
\begin{array}{l}
4-x^2=0 & {\rm Haciendo}~ y=1\\
(2-x)(2+x)=0& {\rm Factorizando}\\
x_1=2~~~x_2=-2& {\rm Resolviendo}
\end{array}
Luego los puntos de intersección son los puntos \(\left(2,\ 1\right)\) y \((-2,\ 1)\)
Intersección de parábola y circunferencia. Determine los puntos de intersección de la gráfica de \(x^2+y^2-20=0\) con \(y^2-2x-12=0.\)
Solución:
$$\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2-20=0~~~~(1)\\
y^2-2x-12=0~~~~(2)
\end{array}\right.$$
Despejando \(y^2\) en \(2\) se tiene \(y^2=2x+12\) que al sustituir en \((1)\) produce:
\begin{array}{l}
x^2+2x+12-20=0& \\
x^2+2x+-8=0& {\rm Simplificando}\\
(x+4)(x-2)=0 & {\rm Factorizando}\\
x+4\ \ \ \ \ \ {\rm ó} \ \ \ x-2=0& {\rm Igualando a cero.}\\
x=-4\ \ \ \ \ \ {\rm ó} \ \ \ x=2 & {\rm Resolviendo}\end{array}
Sustituyendo ahora \(x=-4\) y \(x=2\) en \(y^2-2x-12=0\):
Si \(x=-4:\)
\begin{align}
y^2-2(-4)-12=0\\
y^2-4=0\\
(y-2)(y+2)=0\\
y_1=2 \ \ \ y_2=-2\end{align}
Si \(x=2:\)
\begin{align}
&y^2-2(2)-12=0\\
&y^2-16=0\\
&(y+4)(y-4)=0\\
&y_1=-4 \ \ \ y_2=4\end{align}
Ahora analizando las posibles respuestas que son los pares ordenados \(\left(-4,\ 2\right),\ \left(-4,-2\right),\left(2,\ 4\right),(2,-4)\) note que todos ellos cumplen con las condiciones de las ecuaciones y por tanto todos son soluciones.
Intersección recta-curva. Determinar los puntos de intersección de la circunferencia que pasa por \((-5,-5)\) cuyo centro es el punto \((-2,-2)\) y la recta que pasa por los puntos \((-2,-2)\) y \((-5,-5)\)
Solucion: los puntos de intersección son los puntos solución del sistema formado por las ecuaciones de la circunferencia y la recta.
De \((x-h)^2+(y-k)^2=r^2\) la ecuación con centro \((h,k)=(-2,-2)\) está dada por,
\begin{align}
&(x-(-2))^2+(y-(-2))^2=r^2\end{align}
\((x+2)^2+(y+2)^2=r^2\) de donde se necesita calcular el valor del radio que es la distancia del centro al punto \((-5,-5)\)
\begin{align}
&d\left(A,B\right)=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}\\
&d\left(A,B\right)=\sqrt{\left(-5+2\right)^2+\left(-5+2\right)^2}=\sqrt{9+9}=\sqrt{18}\end{align}
Sustituyendo este valor en la ecuación de la circunferencia
\begin{align}
&(x+2)^2+(y+2)^2=18\\
&x^2+4x+4+y^2+4y+4=18\
&x^2+y^2+4x+4y-10=0\end{align}
Para la ecuación de la recta \(ax+by+c=0\), usando la ecuación punto pendiente \(y=m\left(x-x_1\right)+y_1\)
$$m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{-5+2}{-5+2}=1$$
Escribiendo la ecuación para el punto \(\left(-2,-2\right)\) y la pendiente \(m=1\)
\begin{align}
&y=m\left(x-x_1\right)+y_1\\
&y=1\left(x-\left(-2\right)\right)-2\\
&y=1\left(x+2\right)-2\\
&y=x\end{align}
de donde se forma el sistema
$$\left\{\begin{array}{l}
x^2+y^2+4x+4y-10=0\\
y=x\end{array}\right.$$
Sustituyendo la segunda ecuación en la primera,
\begin{align}
&x^2+x^2+4x+4x-10=0\\
&2x^2+8x-10=0\\
&x^2+4x-5=0\\
&(x+5)(x-1)=0\end{align}
De donde \(x_1=-5\) y \(x_2=1\) que por ser \(y=x\) los puntos de intersección son \((-5,-5)\) y \((1,1).\)
De donde el centro es el punto \(C(1,-4)\) y el radio es
\begin{align}
&r=d(C,P)\\
&r=\sqrt{\left(1-1\right)^2+\left(-1+4\right)^2}=\sqrt9=3\end{align}
La circunferencia buscada sustituyendo los valores de \(h,~k\) y \(r\) en su forma general es,
$$\left(x-1\right)^2+\left(y+4\right)^2=9\Longrightarrow x^2+y^2-2x+8y+8=0$$
Escribiendo ahora la ecuación de la circunferencia \(x^2+y^2=r^2\):
\begin{align}
&x^2+y^2=\left(\sqrt2\right)^2\\
&x^2+y^2=2\\
&x^2+y^2-2=0\end{align}
La figura de la izquierda muestra la circunferencias concentricas del ejercicio.
Si se desea la ecuación anterior se puede multiplicar por nueve y escribirse como,
$$9x^2+9y^2-24x-11=0$$
Escribiendo ahora la ecuaciónde la circunferencia
\begin{align}
&(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\\
&(x+2)^2+(y-4)^2=\left(\sqrt{29}\right)^2\\
&x^2+4x+4+y^2-8y+16=29\\
&x^2+y^2+4x-8y-9=0\\
\end{align}
Es la ecuación de la circunferencia buscada.
Ahora analizando las posibles respuestas que son los pares ordenados \(\left(-4,\ 2\right),\ \left(-4,-2\right),\left(2,\ 4\right),(2,-4)\) note que todos ellos cumplen con las condiciones de las ecuaciones y por tanto todos son soluciones.